Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）-3x的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到h（x），求其導(dǎo)函數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步求得極值；
（Ⅱ）由函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，可得g′（x）≥0（x＞0）恒成立，分離參數(shù)a，利用基本不等式求得最值得答案．

解答 解：（Ⅰ） 由已知，得h（x）=f（x）-3x=lnx+x²-3x，$h'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$（x＞0），
令$h'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=0，得x=$\frac{1}{2}$或x=1，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）時，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}，1$）時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（$\frac{1}{2}，1$）上為減函數(shù)．
∴h（x）_極小值=h（1）=-2，$h{（x）_{極大值}}=h（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，g′（x）=$\frac{1}{x}+2x-a$，
由題意，知g′（x）≥0（x＞0）恒成立，
即a≤$（2x+\frac{1}{x}）_{min}$．
∵x＞0時，2x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時等號成立．
故$（2x+\frac{1}{x}）_{min}=2\sqrt{2}$，
∴a$≤2\sqrt{2}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)求最值，是中檔題．