Question

已知集合A={a1，a2，…，an}(0≤a1＜a2＜…＜an，n∈N*，n≥3)具有性質(zhì)P：對(duì)任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j與a_j-a_i至少一個(gè)屬于A．
（1）分別判斷集合M={0，2，4}與N={1，2，3}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（2）研究當(dāng)n=3，4和5時(shí)，具有性質(zhì)P的集合A中的數(shù)列{a_n}是否一定成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，可以判斷集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P，N={1，2，3}不具有性質(zhì)P；
（2）確定a₁=0，再利用新定義，即可判斷具有性質(zhì)P的集合A中的數(shù)列{a_n}是否一定成等差數(shù)列．

解答：解：（1）集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P，N={1，2，3}不具有性質(zhì)P．
∵集合M={0，2，4}中，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i≤j≤2）兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項(xiàng)，4-2是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，則由題意得3+3和3-3至少一個(gè)一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是這個(gè)集合的元素，而此集合沒有0，故不具有性質(zhì)P；
（2）若數(shù)列A具有性質(zhì)P，則a_n+a_n=2a_n與a_n-a_n=0兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，
∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3，而2a_n不是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴0是該數(shù)列中的項(xiàng)，
∴a₁=0；
n=3時(shí)，∵數(shù)列a₁，a₂，a₃具有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₂+a₃與a₃-a₂至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，
∵a₁=0，a₂+a₃不是該數(shù)列的項(xiàng)，∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂，數(shù)列{a_n}一定成等差數(shù)列；
n=4時(shí)，∵數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄具有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
∴a₃+a₄與a₄-a₃至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，
∵a₃+a₄不是該數(shù)列的項(xiàng)，∴a₄-a₃=a₂，或a₄-a₃=a₃，
若a₄-a₃=a₂，則數(shù)列{a_n}一定成等差數(shù)列；若a₄-a₃=a₃，則數(shù)列{a_n}不一定成等差數(shù)列；
n=5時(shí)，∵數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
∴a₄+a₅與a₅-a₄至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，
∵a₄+a₅不是該數(shù)列的項(xiàng)，∴a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，或a₅-a₄=a₄，
若a₅-a₄=a₄，a₄-a₃=a₂，則數(shù)列{a_n}一定成等差數(shù)列；若a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，則數(shù)列{a_n}不一定成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)分析、解決問題的能力，屬于難題．