已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整數(shù),且a1<a2<…<an,對任意的x,y∈A,且x≠y,都有|x-y| ≥
xy
36

(1)求證:
1
a1
-
1
an
n-1
36
;(提示:可先求證
1
ai
-
1
ai+1
1
36
(i=1,2,…,n-1),然后再完成所要證的結論.)
(2)求證:n≤11;
(3)對于n=11,試給出一個滿足條件的集合A.
分析:(1)依題意有|ai-ai+1| ≥
aiai+1
36
(i=1,2,…,n-1),由此能夠推導出
1
a1
-
1
an
n-1
36

(2)由
1
a1
n-1
36
,a1≥1,得1>
n-1
36
,導出n<37.由此能夠推導出
1
ai
-
1
an
n-i
36
,從而能夠證明n≤11.
(3)由
1
ai
-
1
ai+1
1
36
1-
1
2
1
36
,
1
2
-
1
3
1
36
,
1
3
-
1
4
1
36
1
4
-
1
5
1
36
,
1
5
-
1
6
1
36
,設a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,a6=6,由此能夠推導出滿足條件的一個集合A.
解答:證明:(1)依題意有|ai-ai+1| ≥
aiai+1
36
(i=1,2,…,n-1),
又a1<a2<…<an,
ai+1-ai
aiai+1
36
ai+1-ai
aiai+1
1
36
,
1
ai
-
1
ai+1
1
36
(i=1,2,…,n-1).…(2分)
1
a1
-
1
a2
+
1
a2
-
1
a3
+…+
1
an-1
-
1
an
n-1
36
,
1
a1
-
1
an
n-1
36
.…(4分)
(2)由(1)得
1
a1
n-1
36

又由a1≥1,得1>
n-1
36
,因此n<37.…(5分)
同理,
1
ai
-
1
an
n-i
36
,知
1
ai
n-i
36
.又ai≥i,得
1
i
n-i
36
.…(7分)
∴i(n-i)<36(i=1,2,…,n-1)都成立.…(8分)
當n≥12時,取i=6,則i(n-i)=6(n-6)≥36,與i(n-i)<36不符,
∴n<12.…(9分)
又當n≤11時,i ( n-i )≤( 
i+n-i
2
 )2=( 
n
2
 )2<36
,符合題意,
∴n≤11.…(10分)
(3)由(1)可知,
1
ai
-
1
ai+1
1
36
,
1-
1
2
1
36
1
2
-
1
3
1
36
,
1
3
-
1
4
1
36
,
1
4
-
1
5
1
36
1
5
-
1
6
1
36
,
∴可設a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,a6=6.…(12分)
1
a6
-
1
a7
1
36
,可得a7
36
5
,取a7=8;…(13分)
1
a7
-
1
a8
1
36
,可得a8
72
7
,取a8=11;…(14分)
1
a8
-
1
a9
1
36
,可得a9
396
25
,取a9=16;…(15分)
1
a9
-
1
a10
1
36
,可得a10
144
5
,取a10=29;…(16分)
1
a10
-
1
a11
1
36
,可得a11
1044
7
,取a11=150;…(17分)
∴滿足條件的一個集合A={1,2,3,4,5,6,8,11,16,29,150}(答案不唯一).…(18分)
說明:也有同學在第(2)小題的證明過程中,
先逐一求得a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,a6=6,a7=8,a8=11,a9=16,a10=29,a11=150,
然后由
1
a11
-
1
a12
1
36
,得
1
a12
1
a11
-
1
36
=
1
150
-
1
36
<0
,
∴a12不存在,即n≤11.…(20分)
點評:本題考查不等式的證明,考查滿足條件的集合的求法,解題時要認真審題,注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合A=a1,a2,…,an中的元素都是正整數(shù),且a1<a2<…<an,對任意的x,y∈A,且x≠y,有|x-y|≥
xy
25

(Ⅰ)求證:
1
a1
-
1
an
n-1
25
;    
(Ⅱ)求證:n≤9;
(Ⅲ)對于n=9,試給出一個滿足條件的集合A.

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已知集合A=a1,a2,a3,…,an,其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的個數(shù).
(Ⅰ)設集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分別求l(P)和l(Q);
(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n,求證:l(A)=
n(n-1)2

(Ⅲ)l(A)是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由?

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已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的個數(shù).
(1)設集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分別求l(P)和l(Q)的值;
(2)若集合A={2,4,8,…,2n},求l(A)的值.

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已知集合A={a1,a2,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的個數(shù).
(Ⅰ)若集合A={2,4,8,16},則l(A)=
 
;
(Ⅱ)當n=108時,l(A)的最小值為
 

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