設橢圓＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若＋＝8，求k的值．

 

（1）＝1.（2）k＝±.

【解析】(1)設F(－c,0)，由＝，知a＝c.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，

所以橢圓的方程為＝1.

(2)設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.由根與系數(shù)的關系可得x1＋x2＝－，x1x2＝，因為A(－，0)，B(，0)，所以＋＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋.由已知得6＋＝8，解得k＝±.

 

練習冊系列答案
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(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

 

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已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦等于(　　)．

A. B. C. D.

 

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已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

 

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