Question

【題目】在平面直角坐標系xOy內(nèi)，動點P到定點F（﹣1，0）的距離與P到定直線x=﹣4的距離之比為.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）若軌跡C上的動點N到定點M（m，0）（0＜m＜2）的距離的最小值為1，求m的值.

（3）設點A、B是軌跡C上兩個動點，直線OA、OB與軌跡C的另一交點分別為A1、B1，且直線OA、OB的斜率之積等于，問四邊形ABA1B1的面積S是否為定值？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=1；（3）是，理由見解析.

【解析】

（1）設P（x，y），由兩點間距離公式和點到直線距離公式能求出動點P的軌跡C的方程；（2）設N（x，y），利用兩點間距離公式能求出m；

（3）法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由點A、B在橢圓C上，得，由此利用點到直線的距離公式、橢圓的對稱性，結(jié)合已知條件能求出四邊形ABA1B1的面積為定值；

法二：設A（x1，y1），B（x2，y2），則A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，點A、B在橢圓C上，得.由此利用點到直線的距離公式、橢圓的對稱性，結(jié)合已知條件能求出四邊形ABA1B1的面積為定值.

（1）設P（x，y），

∵動點P到定點F（﹣1，0）的距離與P到定直線x=﹣4的距離之比為，

∴由題意，，化簡得3x2+4y2=12，

∴動點P的軌跡C的方程為；

（2）設N（x，y），則

，﹣2≤x≤2.

①當0＜4m≤2，即時，當x=4m時，|MN|2取最小值3（1﹣m2）=1，

解得，，此時，故舍去.

②當4m＞2，即時，當x=2時，|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1，

解得m=1，或m=3（舍）.

綜上，m=1.

（3）解法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），

則由，得，，

∵點A、B在橢圓C上，∴，，

∴，化簡得.

①當x1=x2時，則四邊形ABA1B1為矩形，y2=﹣y1，則，

由，得，解得，，

.

②當x1≠x2時，直線AB的方向向量為，

直線AB的方程為，

原點O到直線AB的距離為

∴△AOB的面積，

根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形ABA1B1的面積S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，

∴

=，∴.

∴四邊形ABA1B1的面積為定值.

解法二：設A（x1，y1），B（x2，y2），則A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），

由，得，

∵點A、B在橢圓C上，所以，，

∴，化簡得.

直線OA的方程為y1x﹣x1y=0，點B到直線OA的距離，

△ABA1的面積，

根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形ABA1B1的面積=2|x1y2﹣x2y1|，

∴

=，∴.

∴四邊形ABA1B1的面積為定值.