Question

【題目】如圖，在幾何體ABDCE中，AB=AD，AE⊥平面ABD，M為線段BD的中點，MC∥AE，AE=MC．
（1）求證：平面BCD⊥平面CDE；
（2）若N為線段DE的中點，求證：平面AMN∥平面BEC．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵AB=AD，M為線段BD的中點，∴AM⊥BD．
∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD．
∴MC⊥AM，∴AM⊥平面CBD．
又MC∥AE，MC=AE，∴四邊形AMCE為平行四邊形，
∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，
∴平面BCD⊥平面CDE．
（2）∵M為BD中點，N為ED中點，
∴MN∥BE
由（1）知，EC∥AM且AM∩MN=M，BE∩EC=E，
∴平面AMN∥平面BEC．
【解析】（1）先證明AM⊥BD，MC⊥AM，從而AM⊥平面CBD，再由EC⊥平面CBD，能證明平面BCD⊥平面CDE．
（2）由三角形中位線定理得MN∥BE，再由EC∥AM，能證明平面AMN∥平面BEC．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的性質(垂直于同一個平面的兩條直線平行)的相關知識才是答題的關鍵．