已知橢圓C:的離心率為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點,試問：在y軸正半軸上是否存在一個定點M滿足,若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．
（I）.（II）存在點滿足.

試題分析：（I）利用橢圓的幾何性質得.
（II）通過研究時，可知滿足條件，若所求的定點M存在，則一定是P點.
證明就是滿足條件的定點.
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立并整理，應用韋達定理，將用坐標表示，根據(jù)
得到使的點.
試題解析：（I）由題意得，              2分
解得                3分
橢圓的方程為.                4分
（II）當時，直線與橢圓交于兩點的坐標分別為，
設y軸上一點,滿足, 即，
∴解得或（舍），
則可知滿足條件，若所求的定點M存在，則一定是P點.        6分
下面證明就是滿足條件的定點.
設直線交橢圓于點,.
由題意聯(lián)立方程       8分
由韋達定理得，             9分

∴

            11分
∴，即在y軸正半軸上存在定點滿足條件.       12分
解法2：
設y軸上一點,滿足, 即，        5分
設直線交橢圓于點, .
由題意聯(lián)立方程       7分
由韋達定理得，             8分

∴

           10分
整理得，
由對任意k都成立，得
且
解得                                   11分
所以存在點滿足.                12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

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已知點，，動點滿足．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)在直線：上取一點，過點作軌跡的兩條切線，切點分別為．問：是否存在點，使得直線//？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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橢圓與雙曲線有公共的焦點，過橢圓E的右頂點作任意直線l，設直線l交拋物線于M、N兩點，且．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設P是橢圓E上第一象限內的點，點P關于原點O的對稱點為A、關于x軸的對稱點為Q，線段PQ與x軸相交于點C，點D為CQ的中點，若直線AD與橢圓E的另一個交點為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設F(－c,0)是橢圓的左焦點，直線l：x＝－與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A,B。
①證明：∠AFM＝∠BFN；
②求△ABF面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點分別為，橢圓的離心率為，且橢圓經過點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）線段是橢圓過點的弦，且，求內切圓面積最大時實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.
①證明直線與軸交點的位置與無關；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若.
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內），又、是此橢圓上兩點，并且滿足，求證：向量與共線.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知，分別為雙曲線，的左、右焦點，若在右支上存在點，使得點到直線的距離為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是(      )
A．B．C．D．

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