Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=p（p是不等于0的常數(shù)），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的正整數(shù)n都有S_n=

n(an-a1)

2

．
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）記b_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）記c_n=T_n-2n，是否存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，恒有c_n∈（

5

2

，3），若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論，并給出一個(gè)具體的N值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出數(shù)列的遞推關(guān)系式（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，再通過(guò)一步步代換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后看是否滿足等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論．
（2）先對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)整理得b_n=2+2（

1

n

-

1

n+2

），再利用分組求和法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n即可；
（3）先由c_n=T_n-2n=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）知其小于3對(duì)所有正整數(shù)n都成立；下面把c_n＞

5

2

轉(zhuǎn)化為

1

n+1

+

1

n+2

＜

1

4

，利用函數(shù)的單調(diào)性求出滿足條件的n的范圍即可求出對(duì)應(yīng)的N值．

解答：解：（1）由S₁=a₁=

a1-a1

2

=0得a₁=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

n-1

2

a_n-1，
故（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
故當(dāng)n＞2時(shí)，a_n=

n-1

n-2

a_n-1=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

••

4

3

•

3

2

•

2

1

•a₂=（n-1）p，
由于n=2時(shí)a₂=p，n=1時(shí)a₁=0，也適合該式，故對(duì)一切正整數(shù)n，a_n=（n-1）p，a_n+1-a_n=p，
由于p是常數(shù)，故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（2）S_n=

n(a1+an)

2

=

n(n-1)p

2

，
bn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=2n+2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

++

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2n+2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=2n+3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）．
（3）c_n=T_n-2n=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3對(duì)所有正整數(shù)n都成立；
若c_n＞

5

2

，即3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＞

5

2

?

1

n+1

+

1

n+2

＜

1

4

，
記f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

，
則f（n）單調(diào)遞減，又
f（6）=

1

7

+

1

8

＞

1

8

+

1

8

=

1

4

，
f（7）=

1

8

+

1

9

＜

1

8

+

1

8

=

1

4

，
故只要取N=6，則當(dāng)n＞N時(shí)，f（n）＜

1

4

．
故存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，恒有c_n∈（

5

2

，3）．N可以取所有不小于6的正整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的求和以及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和數(shù)列與不等式的綜合，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于難題．