Question

已知公比為q(0＜q＜1)的無窮等比數(shù)列{a_n}各項的和為9，無窮等比數(shù)列{a²_n}各項的和為.

(1)求數(shù)列{a_n}的首項a₁和公比q;

(2)對給定的k(k=1,2,…,n)，設(shè)T^(k)是首項為a_k，公差為2a_k-1的等差數(shù)列，求數(shù)列T⁽²⁾的前10項之和；

(3)設(shè)bⁱ為數(shù)列T⁽ⁱ⁾的第i項，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n，并求正整數(shù)m(m＞1)，使得存在且不等于零.

(注：無窮等比數(shù)列各項的和即當(dāng)n→∞時該無窮等比數(shù)列前n項和的極限)

Answer 1

解：(1)依題意可知，

(2)由(1)知，a_n=3×()^n-1，所以數(shù)列T⁽²⁾的首項為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，

S₁₀=10×2+×10×9×3=155.即數(shù)列T⁽²⁾的前10項之和為155.

(3)b_i=a_i+(i-1)(2a_i-1)=(2i-1)a_i-(i-1)=3(2i-1)()^i-1-(i-1)，

S_n=45-(18n+27)()ⁿ-，

=-()ⁿ-.

    當(dāng)m=2時，=-;當(dāng)m＞2時，=0，所以m=2.