Question

 已知等比數列的首項為，公比為（為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足（）.

（1）求數列的通項公式；

（2）試確定的值，使得數列為等差數列；

（3）當為等差數列時，對任意正整數，在與之間插入2共個，得到一個新數列．設是數列 的前項和，試求滿足的所有正整數的值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）因為,所以，解得（舍），則………………3分

又，所以  _{…………4分}

（2）由，得，

所以,

則由，得

而當時，，由（常數）知此時數列為等差數列…8分

（3）因為，易知不合題意，適合題意………………9分

當時，若后添入的數2 = c_{m + 1}，則一定不適合題意，從而c_{m + 1}必是數列中的某一項，則

 即．

也就是，

易證k=1，2，3，4不是該方程的解，而當n≥5時，成立，證明如下：

    1°當n = 5時，，左邊＞右邊成立；

    2°假設n = k時，成立，

當n = k + 1時，

≥（k+1）²+（k+1）–1+5k–k–3=（k+1）²+（k+1）–1+k+3(k–1)

＞（k+1）²+（k+1）–1

    這就是說，當n=k+1時，結論成立．

由1°，2°可知，時恒成立，故無正整數解．

綜上可知，滿足題意的正整數僅有m=2．…………13分