Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于任意都有成立，試求的取值范圍；

（3）記.當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.（2）（3）

【解析】

（1）先由導數(shù)的幾何意義求得a，在定義域內(nèi)，再求出導數(shù)大于0的區(qū)間，即為函數(shù)的增區(qū)間，求出導數(shù)小于0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間．

（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函數(shù)的最小值大于2（a﹣1），從而求得a的取值范圍．

（3）利用導數(shù)的符號求出單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個零點，得到， 解出實數(shù)b的取值范圍．

（1）直線的斜率為1， 函數(shù))的定義域為.

因為，所以，所以，

所以，.

由解得；由解得.

所以得單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

（2）由解得；由解得.

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當時，函數(shù)取得最小值.

因為對于任意都有成立，

所以即可.

則，

即，解得，

所以得取值范圍是.

（3）依題意得，則，

由解得，由解得.

所以函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，

所以，解得.

所以的取值范圍是.