Question

【題目】已知橢圓 的右焦點與拋物線y2=4x的焦點F重合，且橢圓的離心率是 ，如圖所示．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）拋物線的準線與橢圓在第二象限相交于點A，過點A作拋物線的切線l，l與橢圓的另一個交點為B，求線段AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，得F（1，0），∴c=1，

又e= ，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，

故橢圓的標準方程為：

（2）解：拋物線的準線方程為x=﹣1

由 ，解得 ， ，

由A位于第二象限，則A（﹣1， ），

過點A作拋物線的切線l的方程為：

即直線l：4x﹣3y﹣4=0

由 整理得

整理得：ky2﹣4y+4k+6=0，

當k=0，解得：y= ，不符合題意，

當k≠0，由直線與拋物線相切，則△=0，

∴（﹣4）2﹣4k（4k+6）=0，解得：k= 或k=﹣2，

當k= 時，直線l的方程y﹣ = （x+1），

則 ，整理得：（x+1）2=0，

直線與橢圓只有一個交點，不符合題意，

當k=﹣2時，直線l的方程為y﹣ =﹣2（x+1），

由 ，整理得：19x2+8x﹣11=0，解得：x1=﹣1，x2= ，

則y1= ，y2=﹣ ，

由以上可知點A（﹣1， ），B（ ，﹣ ），

∴丨AB丨= = ，

綜上可知：線段AB長度為

【解析】（1）根據(jù)題意得F（1，0），即c=1，再通過e= 及c2=a2﹣b2計算可得橢圓的方程；（2）將準線方程代入橢圓方程，求得A點坐標，求得拋物線的切線方程，由△=0，求得k的值，分別代入橢圓方程，求得B點坐標，利用兩點之間的距離公式，即可求得線段AB的長．