Question

某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1，乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2（注：利潤(rùn)與投資的單位：萬(wàn)元）．

（Ⅰ）分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）該企業(yè)籌集了100萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，問(wèn)：怎樣分配這100萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)甲產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，過(guò)（1.8，0.45），可得甲的函數(shù)關(guān)系式；乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，過(guò)點(diǎn)（4，6），可得乙的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)應(yīng)給乙投資x萬(wàn)元，則給甲投資（100-x）萬(wàn)元，從而可得函數(shù)關(guān)系式，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）設(shè)投資x萬(wàn)元，利潤(rùn)y萬(wàn)元，則甲產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，過(guò)（1.8，0.45），故甲的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

4

x；
 乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，設(shè)方程為y=k

x

，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（4，6），
所以k=3，故乙的函數(shù)關(guān)系式為 y=3

x

；
（2）設(shè)應(yīng)給乙投資x萬(wàn)元，則給甲投資（100-x）萬(wàn)元
故y=

1

4

(100-x)+3

x

(0≤x≤100)
求導(dǎo)函數(shù)，

y′=- 1 4 + 3 2 x =0

，∴x=36
∴函數(shù)在（0，36）上，y′＞0，函數(shù)單調(diào)增，（36，100）上，y′＜0，函數(shù)單調(diào)減，
∴x=36時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，y_max=34
答：應(yīng)投資36萬(wàn)元，最大利潤(rùn)34萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，單峰函數(shù)極值就是最值，屬于中檔題．