在△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a2+b2=c2+ab．
（1）若數(shù)學(xué)公式，且c=2，求△ABC的面積；
（2）已知向量數(shù)學(xué)公式=（sinA，cosA），數(shù)學(xué)公式=（cosB，-sinB），求|數(shù)學(xué)公式|的取值范圍．

解析：（1）在△ABC中，∵a2+b2=c2+ab，即c2=a2+b2-ab，
∴cosC==，結(jié)合C∈（0，π）得C=
又∵，可得，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或
當(dāng)時(shí)，與C=矛盾，故A=B，可得△ABC是等邊三角形．
∵c=2，∴△ABC的面積…（6分）
（2）∵向量=（sinA，cosA），=（cosB，-），
∴=1，=1，•=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
因此，
∵A+B=，得A=-B
∴=
∵B∈（0，），得-2B∈（-，）…（10分）
∴當(dāng)-2B=-時(shí)，有最小值-1，此時(shí)有最大值9；
當(dāng)-2B=時(shí)，有最大值1，此時(shí)有最小值1．
可得，開方得
故||的取值范圍[1，3]． …（12分）
分析：（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合題中平方關(guān)系的等式，算出cosC=，從而得出C=．再由正弦定理結(jié)合題中比例式，化簡可得sin2A=sin2B，因此△ABC是等邊三角形，不難得出△ABC的面積．
（2）首先計(jì)算==1，且•=sin（A-B），代入表達(dá)式并化簡，得=，根據(jù)角B的取值范圍結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，兩邊開方即得||的取值范圍．
點(diǎn)評：本題是一道三角函數(shù)綜合題，著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模的公式，以及運(yùn)用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知
AB
•
AC
=9，sinB=cosAsinC，又△ABC的面積等于6．
（1）求△ABC的三邊之長；
（2）設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊AB、BC、CA的距離分別為d1、d2、d3，求d1+d2+d3的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知
AB
•
AC
=9．sinB=cosAsinC，面積S△ABC=6，
（1）求△ABC的三邊的長；
（2）設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)的一點(diǎn)，P到三邊AC、BC、AB的距離分別是x、y、z．
①寫出x、y、z．所滿足的等量關(guān)系；
②利用線性規(guī)劃相關(guān)知識求出x+y+z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•江蘇模擬）在△ABC中，已知
AB
•
AC
=9，sinB=cosAsinC，面積S△ABC=6．
（Ⅰ）求△ABC的三邊的長；
（Ⅱ）設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊AC，BC，AB的距離分別為x，y和z，求x+y+z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)=(
1
2
，x，y)，求
1
x
+
4
y
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年福建省福州市高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

給出下列命題：

①“x＝一1”是“x2一5x一6＝0”的必要不充分條件；

②在△ABC中，已知則;

③在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，MA＜1的概率為于

④若命題p是：:對任意的，都有sinx≤1,則為：存在,使得sinx > 1.

其中所有真命題的序號是＿＿＿＿

 

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