Question

（滿分12分）直線l 與拋物線y² = 4x 交于兩點A、B，O 為原點，且= －4．
(I)       求證：直線l 恒過一定點；
(II)     若 4≤| AB | ≤，求直線l 的斜率k 的取值范圍；
(Ⅲ) 設拋物線的焦點為F，∠AFB = θ，試問θ 角能否等于120°？若能，求出相應的直線l 的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)見解析
(Ⅱ) kÎ [－1, －]∪[ , 1 ]．
(Ⅲ)見解析 

(I) 1°若直線l 與x 軸不垂直，
設其方程為y = kx + b，l 與拋物線y² = 4x 的交點坐標分別為A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，
由·= －4 得x₁x₂ + y₁y₂ = －4，即+ y₁y₂ = －4，
則y₁y₂ = －8．        1分
又由得ky²－4y + 4b =" 0" (k≠ 0)．
則y₁y₂ = = －8，即b = －2k，      2分]
則直線l 的方程為y = k (x－2)，則直線l 過定點 (2, 0)．        3分
2°若直線l⊥x 軸，易得x₁ = x₂ = 2，則l 也過定點 (2, 0)．
綜上，直線l 恒過定點 (2, 0)．    4分
(II) 由 (I) 得 | AB | ² =" (1" + )(y₂－y₁) ² = ( + 32)         6分
從而 6 ≤( + 2) ≤ 30． 7分
解得kÎ [－1, －]∪[ , 1 ]．          8分
(III) 假定θ = p，則有cosθ = －，
如圖，即= － (*)           9分
由 (I) 得y₁y₂ = －8，x₁x₂ = = 4．
由定義得 | AF | = x₁ + 1，| BF | = x₂ + 1．
從而有 | AF | ² + | BF | ²－| AB | ² = (x₁ + 1) ² + (x₂ + 1) ²－(x₁－x₂) ²－(y₁－y₂) ²
= －2 (x₁ + x₂)－6，        12分
| AF |·| BF | = (x₁ + 1) (x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 = x₁ + x₂ + 5
將代入 (*) 得= －，即x₁ + x₂ + 1 = 0．
這與x₁ > 0 且x₂ > 0 相矛盾！      13分
經檢驗，當AB⊥x 軸時，θ =" 2" arctan 2> p．
綜上，θ≠p．    14分