(2012•南寧模擬)已知F,F(xiàn)'分別是橢圓C1:17x2+16y2=17的上、下焦點,直線l1過點F'且垂直于橢圓長軸,動直線l2垂直l1于點G,線段GF的垂直平分線交l2于點H,點H的軌跡為C2
(Ⅰ)求軌跡C2的方程;
(Ⅱ)若動點P在直線l:x-y-2=0上運動,且過點P作軌跡C2的兩務切線PA、PB,切點為A、B,試猜想∠PFA與∠PFB的大小關系,并證明你的結論的正確性.
分析:(Ⅰ)由橢圓C1:17x2+16y2=17,可得F,F(xiàn)'的坐標,從而可得動點H到定直線l1:y=-
1
4
與定點F(0,
1
4
)的距離相等,由此可得軌跡C2的方程;
(Ⅱ)猜想∠PFA與∠PFB,先求切線AP、BP的方程,聯(lián)立可得P的坐標,進一步可得
FA
FB
、
FP
的坐標,利用向量的夾角公式,可得cos∠AFP=cos∠BFP,從而可得結論.
解答:解:(Ⅰ)∵橢圓C1:17x2+16y2=17,∴橢圓半焦距長為
1
4

∴F′(0,-
1
4
),F(xiàn)(0,
1
4

∵HG=HF,∴動點H到定直線l1:y=-
1
4
與定點F(0,
1
4
)的距離相等
∴動點H的軌跡為以定直線l1:y=-
1
4
為準線,定點F(0,
1
4
)為焦點的拋物線
∴軌跡C2的方程為x2=y;
(Ⅱ)猜想∠PFA與∠PFB,證明如下:
由(Ⅰ)設A(x0,x02),B(x1,x12)(x0≠x1
∴切線AP:2x0x-y-x02=0,切線BP:2x1x-y-x12=0
聯(lián)立可得P的坐標xP=
x0+x1
2
,yP=x0x1
FA
=(x0x02-
1
4
),
FB
=(x1x12-
1
4
),
FP
=(
x0+x1
2
x0x1-
1
4

由于P在拋物線外,則|
FP
|≠0

∴cos∠AFP=
FP
FA
|
FP
||
FA
|
=
x0x1+
1
4
|
FP
|

同理可得cos∠BFP=
FP
FB
|
FP
||
FB
|
=
x0x1+
1
4
|
FP
|

∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠AFP=∠BFP.
點評:本題考查軌跡方程,考查拋物線的定義,考查向量知識的運用,正確運用向量的夾角公式是關鍵.
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