Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，PA與平面PBC所成角的正弦值為。

（1）求側(cè)棱PA的長(zhǎng)；

（2）設(shè)E為AB中點(diǎn)，若PA≥AB，求二面角B－PC－E的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】

（1）取AD中點(diǎn)O．BC中點(diǎn)M，連結(jié)OP，OM，證得以O為原點(diǎn)OA，OM，OP為x，y，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。

（2）由（1）知，得平面PBC的一個(gè)法向量為，再求得平面PCE的一個(gè)法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值。

解：（1）取AD中點(diǎn)O．BC中點(diǎn)M，連結(jié)OP，OM，

因?yàn)?/span>PA＝PD，所以

又因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD，OP平面PAD．平

面平面ABCD＝AD，所以O(shè)P⊥平面ABCD

所以

又因?yàn)锳BCD是正方形，所以,

以O為原點(diǎn)OA，OM，OP為x，y，Z軸建立空間直角

坐標(biāo)系O－xyz（如圖），

則,

設(shè)，則,

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為,

則有取，則，從而

設(shè)PA與平面PBC所成角為，因?yàn)?/span>

所以

解得或．所以或.

（2）由（1）知，，所以，

由（1）知，平面PBC的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為,而,

所以取，則，即

設(shè)二面角B－PC－E的平面角為，

所以，

根據(jù)圖形得為銳角，所以二面角B－PC－E的余弦值為