【題目】對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù),若同時(shí)滿足:

)若存在閉區(qū)間,使得任取,都有是常數(shù));

)對(duì)于內(nèi)任意,當(dāng),時(shí)總有恒成立,則稱函數(shù)為“平底型”函數(shù).

1)判斷函數(shù)是否是“平底型”函數(shù)?簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;

2)設(shè)是(1)中的“平底型”函數(shù),若不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù),求滿足的條件,并說(shuō)明理由.

【答案】1是“平底型”函數(shù),不是“平底型”函數(shù);理由見解析;(2;

3.

【解析】

1)將函數(shù)分別表示為分段函數(shù),結(jié)合題中定義對(duì)這兩個(gè)函數(shù)是否為“平底型”函數(shù)進(jìn)行判斷;

2)由(1)知,,由題意得出,利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,然后分、三種情況來(lái)解不等式,即可得出的取值范圍;

3)假設(shè)函數(shù)是“平底型”函數(shù),則該函數(shù)的解析式需滿足“平底型”函數(shù)的兩個(gè)條件,化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,檢驗(yàn)“平底型”函數(shù)的兩個(gè)條件同時(shí)具備的、值是否存在.

1,.

對(duì)于函數(shù),當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以,函數(shù)為“平底型”函數(shù).

對(duì)于函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

但區(qū)間不是閉區(qū)間,所以,函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

2)由(1)知,,

由于不等式對(duì)一切恒成立,則.

由絕對(duì)值三角不等式得,則有.

①當(dāng)時(shí),由,得,解得,此時(shí),;

②當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí),

③當(dāng)時(shí),由,得,解得,此時(shí),.

綜上所述,的取值范圍是;

3.

①當(dāng)時(shí),

i)若,則,該函數(shù)為“平底型”函數(shù);

ii)若,則該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

②當(dāng)時(shí),若時(shí),則,當(dāng)時(shí),,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

③當(dāng)時(shí),則,

i)若,則該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

ii)若,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

iii)若,則,則,顯然,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù).

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).

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①求,的值;

②求實(shí)數(shù)的取值范圍,使得對(duì)恒成立.

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1)若集合,求當(dāng)時(shí),的值;

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