Question

已知A，B 分別為曲線C：（y≥0，a>0）與x軸的左、右兩個交點(diǎn)，直線l過點(diǎn)B，且與x軸垂直，S為l上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T。

（1）若曲線C為半圓，點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；
（2）如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問：是否存在a，使得O，M，S三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）當(dāng)曲線C為半圓時，a=1，由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得∠BOT=60°或120°
（i）當(dāng)∠BOT=60°時，∠SAE=30°
又AB=2
故在△SAE中，有
∴。
（ii）當(dāng)∠BOT=120°時，同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為，
綜上，或。
（2）假設(shè)存在，使得O，M，S三點(diǎn)共線
由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上，故
顯然，直線AS的斜率k存在且k>0，可設(shè)直線AS的方程為
由得
設(shè)點(diǎn)
∴
故，
從而
亦即
∵
∴
由得，
∴
由，可得
即
∵
∴
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，O，M，S三點(diǎn)共線
故存在，使得O，M，S三點(diǎn)共線。