已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線左支上任一點(diǎn),若
|PF2|2
|PF1|
的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是(  )
A、(1,+∞)
B、(0,3]
C、(1,3]
D、(0,2]
分析:由定義知:|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,
|PF2|2
|PF1|
=
(2a+|PF1|)2
|PF1|
=
4a2
|PF1|
+4a+|PF1| ≥8a
,當(dāng)且僅當(dāng)
4a2
|PF1|
=|PF1|
,即|PF1|=2a時(shí)取得等號.再由焦半徑公式得雙曲線的離心率的取值范圍.
解答:解:由定義知:|PF2|-|PF1|=2a,
|PF2|=2a+|PF1|,
|PF2|2
|PF1|
=
(2a+|PF1|)2
|PF1|

=
4a2
|PF1|
+4a+|PF1| ≥8a
,
當(dāng)且僅當(dāng)
4a2
|PF1|
=|PF1|
,
即|PF1|=2a時(shí)取得等號
設(shè)P(x0,y0) (x0≤-a)
由焦半徑公式得:
|PF1|=-ex0-a=2a
ex0=-2a
e=-
3a
x0
≤3
又雙曲線的離心率e>1
∴e∈(1,3].
故選C.
點(diǎn)評:本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意焦半徑公式的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1、F2分別為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),Q是y軸上的一個(gè)動點(diǎn),若|
PF1
|-|
PF2
|=4,則
PQ
•(
PF1
-
PF2
)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓
x2
3
+
y2
2
=1
的左、右焦點(diǎn),直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸,動直線l2垂直于直線l1,垂足為D,線段DF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M.
(Ⅰ)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F1作直線交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P和Q,設(shè)
F1P
F1Q
,若λ∈[2,3],求
F2P
F2Q
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1、F2分別為橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則△PF1F2的面積為
9
7
4
9
7
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo),其縱坐標(biāo)等于短半軸長的
2
3
,則橢圓的離心率為
5
3
5
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線x2-
y2
4
=1
的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上的動點(diǎn),過F1作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足為H,則點(diǎn)H的軌跡為( 。

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