如圖,在四棱錐中,平面ABCD,底面ABCD是菱形,.

(1)求證:平面PAC;

(2)若,求所成角的余弦值;

(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí),求PA的長.

 

【答案】

(1)證明見解析;(2);(3)

【解析】

試題分析:(1)要證線面垂直,就是要證這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,這里由于四邊形是菱形,所以,另外一條直線當(dāng)然考慮(或者),本題中應(yīng)該是;(2)求異面直線所成的角,一般可通過平移變成相交直線所成的角,考慮到第(3)小題問題,且題中有垂直的直線,故考慮建立空間直角坐標(biāo)系(以的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),軸,軸,過平行的直線為軸),則所成角就是的夾角((銳角(或其補(bǔ)角)或直角),平面與平面垂直就是它們的法向量垂直,即它們的法向量的數(shù)量積為0.

試題解析:(1)證明:因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204372425113513/SYS201404220438175480619618_DA.files/image003.png">是菱形,所以,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204372425113513/SYS201404220438175480619618_DA.files/image020.png">平面,所以,而,所以平面.

(2)設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204372425113513/SYS201404220438175480619618_DA.files/image027.png">,

所以,如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)所成的角為,則

(3)由(2)知設(shè).則設(shè)平面的法

向量,所以,

所以同理,平面的法向量,因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204372425113513/SYS201404220438175480619618_DA.files/image051.png">,所以,即解得,所以

考點(diǎn):(1)線面垂直;(2)異面直線所成的角;(3)兩平面垂直.

 

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

18、如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中點(diǎn),過A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M.
(1)求證:DP∥平面ANC;
(2)求證:M是PC中點(diǎn);
(3)求證:平面PBC⊥平面ADMN.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為4的菱形,且∠BAD=60°,N是PB的中點(diǎn),過A,D,N的平面交PC于M,E是AD的中點(diǎn).
(1)求證:BC⊥平面PEB;
(2)求證:M為PC的中點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐中,側(cè)面

是正三角形,且與底面垂直,底面是邊長為2的菱形,,中點(diǎn),過、三點(diǎn)的平面交. 

(1)求證:;   (2)求證:中點(diǎn);(3)求證:平面⊥平面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

如圖,在四棱錐中,底面為菱形,的中點(diǎn)。

   (1)點(diǎn)在線段上,

試確定的值,使平面;

   (2)在(1)的條件下,若平面

面ABCD,求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

如圖,在四棱錐中,底面為菱形,的中點(diǎn)。

   (1)點(diǎn)在線段上,,

試確定的值,使平面;

   (2)在(1)的條件下,若平面

面ABCD,求二面角的大小。

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