Question

（2004•朝陽(yáng)區(qū)一模）設(shè)z₁，z₂是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，且|z₁+z₂|=|z₁-z₂|；設(shè)復(fù)數(shù)z=z₁+z₂，在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z、z₁、z₂對(duì)應(yīng)的向量分別為

OZ

、

OZ1

、

OZ2

．
（Ⅰ）在復(fù)平面內(nèi)畫出向量

OZ

、

OZ1

、

OZ2

，并說出以O(shè)、Z₁、Z、Z₂為頂點(diǎn)的四邊形的名稱；
（Ⅱ）求證：(

z1

z2

)2是負(fù)實(shí)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩個(gè)非零復(fù)數(shù)滿足|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，說明以向量

OZ1

，

OZ2

為鄰邊的四邊形是矩形，又復(fù)數(shù)z=z₁+z₂，由向量假發(fā)的三角形法則可得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量

OZ

；
（Ⅱ）把給出的等式兩邊同時(shí)除以復(fù)數(shù)z₂，然后利用其幾何意義得到

z1

z2

是純虛數(shù)，則結(jié)果得到證明．

解答：解：（Ⅰ）圖形如圖，

所畫圖形是矩形．
（Ⅱ）證明：由|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，∵z₁、z₂不等于零，得|

z1

z2

+1|=|

z1

z2

-1|，
它表示復(fù)數(shù)

z1

z2

在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，到點(diǎn)（-1，0），（1，0）的距離相等，
∴

z1

z2

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是復(fù)平面虛軸上的點(diǎn)．
∴

z1

z2

是純虛數(shù)．
∴(

z1

z2

)2是負(fù)實(shí)數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，解答的關(guān)鍵是對(duì)基本概念的理解，是基礎(chǔ)題．