【題目】求證 :直角坐標平面上的格點凸七邊形(每個頂點均為格點———縱 、橫坐標均為整數(shù)的點)的內(nèi)部最少包含四個格點.
【答案】見解析
【解析】
首先,不妨設格點凸七邊形的各邊的內(nèi)部都沒有格點(否則,如的內(nèi)部有一個格點,則用七邊形代替原來的七邊形,由于格點個數(shù)有限,故這種過程一定會在某一步終止).
其次,任何五個格點或五個頂點的坐標按奇偶性分類,至多有四類:(奇,奇),(偶,偶),(奇,偶),(偶,奇),因而,必有五個頂點中的某兩個點屬于同一類,這兩點的中點也是格點,且點M在凸七邊形的內(nèi)部.
考慮這五個格點,其中某兩點的中點也是格點,且點在七邊形的內(nèi)部.
同理,由格點五邊形(若為的中點,則取格點五邊形)可確定另一個格點也在七邊形的內(nèi)部,如圖所示.
直線將平面分為兩部分,其中必有某一側至少含有格點凸七邊形的三個頂點.不妨設在的同一側,則由凸五邊形可知,七邊形的內(nèi)部還有第三個格點.
(1)若的另一側也含有七邊形的三個頂點,同理可得第四個格點.
(2)若的另一側至多含兩個頂點和,則、在直線上或與在的同一側,這時,又有兩種情況:
(ⅰ)若點不在內(nèi),則、、、、組成凸五邊形,又可得到一個格點(第四個);
(ⅱ)若點在內(nèi)(或邊上),則、、、、組成凸(非凹)五邊形,可得到第四個格點(注:若、在同一側,、與、、在同側,則考慮五邊形).
另一方面,容易舉出一個例子,使得七邊形的內(nèi)部恰有四個格點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若、均為非零整數(shù),且滿足方程,則稱為方程的非零整數(shù)解.下列關于本方程非零整數(shù)解的判斷中,為真命題的是( )
A. 非零整數(shù)解不存在
B. 存在有限個非零整數(shù)解
C. 存在無限個非零整數(shù)解,不在一、三象限
D. 存在無限個非零整數(shù)解,不在二、四象限
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從一批草莓中,隨機抽取個,其重量(單位:克)的頻率分布表如下:
分組(重量) | ||||
頻數(shù)(個) |
已知從個草莓中隨機抽取一個,抽到重量在的草莓的概率為.
(1)求出,的值;
(2)用分層抽樣的方法從重量在和的草莓中共抽取個,再從這個草莓中任取個,求重量在和中各有個的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代社會對破譯密碼的難度要求越來越高.有一種密碼把英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的a,b,…,z這26個字母(不論大小寫)依次對應1,2,…,26這26個自然表,見表
a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
n | o | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y | z |
14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
給出如下一個變換公式:利用它可將明文轉換成密文,如,即h變成q;,即e變成c,按上述公式,若將某明文譯成的密文是shxc,那么,原來的明文是( ).
A. lhho B. ohhl C. love D. eovl
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個十進制正整數(shù)中,如果它含有偶數(shù)(包括零)個數(shù)字 8 ,則稱它為“優(yōu)數(shù)” ,否則就稱它為“非優(yōu)數(shù)” .那么,長度(位數(shù))不超過 (是正整數(shù))的所有“優(yōu)數(shù)” 的個數(shù)是 __________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直角坐標系中曲線的參數(shù)方程:(為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,點的極坐標,在平面直角坐標系中,直線經(jīng)過點,傾斜角為.
(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的參數(shù)方程;
(2)設直線與曲線相交于兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知常數(shù)項為的函數(shù)的導函數(shù)為,其中為常數(shù).
(1)當時,求的最大值;
(2)若在區(qū)間(為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,已知點,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點是曲線上的任意一點,點為的中點,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求點的軌跡的極坐標方程;
(2)已知直線:與曲線交于點,,射線逆時針旋轉交曲線于點,且,求.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 過點,且兩個焦點的坐標分別為, .
(1)求的方程;
(2)若, , 為上的三個不同的點, 為坐標原點,且,求證:四邊形的面積為定值.
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