已知函數(shù)
在點
處的切線方程為
，且對任意的
，
恒成立.
（Ⅰ）求函數(shù)
的解析式；
（Ⅱ）求實數(shù)
的最小值；
（Ⅲ）求證：
（
）.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）先證
，累加即得.
解析試題分析：（Ⅰ）將
代入直線方程得
，∴
① 
，∴
②
聯(lián)立，解得
∴
（Ⅱ）
，∴
在上恒成立；
即
在恒成立；
設
，
，
∴只需證對于任意的有
設
，
1）當
，即
時，
，∴
在
單調(diào)遞增，∴
2）當
，即
時，設
是方程
的兩根且
由
，可知
，分析題意可知當
時對任意有；
∴
，∴
綜上分析，實數(shù)的最小值為.
（Ⅲ）令
，有
即
在恒成立；
令
，得
∴原不等式得證.
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)解析式的求解及常用方法；不等式的證明．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的切線方程問題，在曲線上某點處的切線的斜率就是該點的導數(shù)值，考查了導數(shù)在最大值和最小值中的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想和分類討論的數(shù)學思想．特別是（Ⅲ）的證明，用到了放縮法和裂項相消，此題屬難度較大的題目．
愉快的寒假南京出版社系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
．
（Ⅰ）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設函數(shù)
．若至少存在一個
，使得
成立，求實數(shù)
的取值范圍．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
函數(shù)f(x)＝x2＋x－
.
(I)若定義域為[0,3]，求f(x)的值域；
(II)若f(x)的值域為[－
，
]，且定義域為[a，b]，求b－a的最大值.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x.
（1）求f(π)的值；
（2）當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；
（3）寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
.
(I)當a=3時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(II)對任意b>0，f(x)在區(qū)間[b-lnb，+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
時，求函數(shù)
上的最大值.
，
的值域.
時，函數(shù)
的表達式； 
的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間。
，
單調(diào)區(qū)間；
時，證明：當
時，證明：
。