如圖,已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF=a(a>0),M是線段EF的中點.
(1)求證:AC⊥BF;
(2)若二面角F-BD-A的大小為60°,求a的值;
(3)令a=1,設點P為一動點,若點P從M出發(fā),沿棱按照M→E→C的路線運動到點C,求這一過程中形成的三棱錐P-BFD的體積的最小值.

【答案】分析:(1)建立空間直角坐標系,求出,即可證明AC⊥BF;
(2)求出平面ABD的法向量,利用及二面角F-BD-A的大小為60°,求a的值;
(3)解1a=1,設AC與BD交于O,則OF∥CM,所以CM∥平面FBD,當P點在M或C時,直接求出三棱錐P-BFD的體積的最。
解2,求出,利用公式,求解即可.
解答:解:建立空間坐標系,

(1)
,
所以AC⊥BF.(5分)

(2)平面ABD的法向量,
平面FBD的法向量

(3)解1設AC與BD交于O,則OF∥CM,所以CM∥平面FBD,
當P點在M或C時,三棱錐P-BFD的體積的最小.
(14分)
解2設AC與BD交于O,則OF∥CM,所以CM∥平面FBD,
當P點在M或C時,三棱錐P-BFD的體積的最。

平面FBD的法向量
點C到平面FBD的距離.(14分)
點評:本題考查用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,向量語言表述線線的垂直、平行關系,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知平行四邊形ABCD所在平面外一點P,E、F分別是AB,PC的中點.求證:EF∥平面PAD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知平行四邊形ABCD中,AD=2,CD=
2
,∠ADC=45°,AE⊥BC,垂足為E,沿直線AE將△BAE翻折成△B′AE,使得平面B′AE⊥平面AECD.連接B′D,P是B′D上的點.
(Ⅰ)當B′P=PD時,求證:CP⊥平面AB′D;
(Ⅱ)當B′P=2PD時,求二面角P-AC-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF=
3

(1)求證:AC⊥BF;
(2)求二面角F-BD-A的余弦值;
(3)求點A到平面FBD的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四邊形ADEF為正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,G,H分別是DF,BE的中點.
(Ⅰ)求證:GH∥平面CDE;
(Ⅱ)當四棱錐F-ABCD的體積取得最大值時,求平面ECF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=2,∠BAD=60°,E為BC邊上的中點,F(xiàn)為平行四邊形內(nèi)(包括邊界)一動點,則
AE
AF
的最大值為
31
2
31
2

查看答案和解析>>

同步練習冊答案