Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，∠BAD=60°，E為BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)為平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則

AE

•

AF

的最大值為

31

2

．

Answer 1

分析：先以點(diǎn)A位坐標(biāo)原點(diǎn)建立的直角坐標(biāo)系，求出其它各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出

AE

•

AF

，把所求問題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域內(nèi)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題求解即可．

解答：解：以點(diǎn)A位坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系
設(shè)點(diǎn)A（0，0），則B（3，0），C（4，

3

），D（1，

3

），E（

7

2

，

3

2

），
設(shè)F（x，y），F(xiàn)為平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域即為平行四邊形ABCD
因?yàn)?span id="mryknbt" class="MathJye">

AE

=（

7

2

，

3

2

），

AF

=（x，y）．
所以

AE

•

AF

=

7

2

x+

3

2

y．
借助于圖象得當(dāng)

7

2

x+

3

2

y過點(diǎn)C（4，

3

）時(shí)取最大值，最大值為

7

2

x+

3

2

y=14+

3

2

=

31

2

．
故答案為：

31

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想的考查，屬于中檔題．