Question

【題目】記表示m，n中的最大值，如.已知函數(shù)，.

（1）設(shè)，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；

（2）試探討是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）存在，.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間及最值，結(jié)合圖像即可判定；（2）構(gòu)造函數(shù)，對該函數(shù)在的最大值進(jìn)行分類討論求解，只需要最大值小于0即可.

（1）設(shè)，則.

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

所，所以，即，所以.

設(shè)，結(jié)合與在上的圖象可知，

這兩個函數(shù)的圖象在內(nèi)有兩個交點，

即在上的零點個數(shù)為2（或由方程在內(nèi)有兩根可得）.

（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得對恒成立，

則對恒成立，

即對恒成立，

①設(shè)，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.

所以，

當(dāng)即時，，所以，因為，所以，

故當(dāng)時，對恒成立；

當(dāng)，即時，在上遞減，

所以.

因為，所以，

故當(dāng)時，對恒成立.

②若對恒成立，

則，

所以.

由①②得，.

故存在實數(shù)，使得對恒成立，且a的取值范圍為.