已知函數(shù)，．
（Ⅰ）設（其中是的導函數(shù)），求的最大值；
（Ⅱ）求證:當時，有；
（Ⅲ）設,當時,不等式恒成立，求的最大值.
（Ⅰ）取得最大值；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）整數(shù)的最大值是.

試題分析：(Ⅰ)通過求的導函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，從而確定在時，取得最大值；（Ⅱ）由(Ⅰ)可知當時，，從而有．（Ⅲ）先由當時,不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,設，通過導函數(shù)求出的單調(diào)性從而得出，整數(shù)的最大值是.
試題解析：(Ⅰ),所以 ．  
當時，；當時，．
因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，當時，取得最大值；                 3分
（Ⅱ）當時，．由（1）知：當時，，即．
因此，有．      7分
（Ⅲ）不等式化為所以
對任意恒成立．令，
則，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以．故整數(shù)的最大值是.        13分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

函數(shù)，過曲線上的點的切線方程為.
（1）若在時有極值，求的表達式；
（2）在（1）的條件下，求在[-3,1]上的最大值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（2）當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間。設，試問函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù).
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當時，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若函數(shù)對任意滿足，求證：當時，；
（Ⅲ）若，且，求證：

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
（1）若時，求函數(shù)在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）令是否存在實數(shù)，當是自然對數(shù)的底）時，函數(shù)的最小值是3，
若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f(x)＝aln x＋x在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為     .

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