Question

過(guò)雙曲線x2-

y2

3

=1的左焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于不同的兩點(diǎn)P與Q，則滿足|PQ|=6的直線l的條數(shù)有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①當(dāng)直線l與雙曲線交于一支時(shí)，先求直線的斜率不存在時(shí)PQ=6是否滿足條件，從而可判斷直線的斜率存在時(shí)，PQ=6的直線是否存在
②當(dāng)直線與雙曲線交于兩支取、時(shí)可設(shè)直線方程為y=k（x+2）．聯(lián)立方程，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

可求k，進(jìn)而可判斷滿足條件的直線的個(gè)數(shù)

解答：解：①當(dāng)直線l與雙曲線交于一支時(shí)
若直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-2與雙曲線的交點(diǎn)P（-2，3）Q（-2，-3），此時(shí)PQ=6滿足條件
若直線的斜率存在時(shí)PQ＞6，不滿足條件
②當(dāng)直線與雙曲線交于兩支取、時(shí)可設(shè)直線方程為y=k（x+2）
聯(lián)立方程

y=k(x+2) x2- y2 3 =1

整理可得（3-k²）x²-4k²x-（4k²+3）=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則可得x1+x2=

4k2

3-k2

x1x2= -

4k2+3

3-k2

個(gè)PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[ 16k4 (3-k2) 2 + 16k2+12 3-k2

]=6
解可得，k=±1
故滿足條件的直線有3條
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與雙曲線的相交求弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意弦長(zhǎng)公式PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

與方程的根與系數(shù)的關(guān)系的結(jié)合應(yīng)用．