Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex[x2+（a+1）x+2a﹣1]．
（1）當a=﹣1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若曲線y=f（x）存在兩條互相垂直的切線，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=ex（x2﹣3），

則f′（x）=ex（x2+2x﹣3），

令f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3；令f′（x）＜0得﹣3＜x＜1．

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（﹣∞，﹣3）與（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣3，1）

（2）解：f（x）≤ea，即ex[x2+（a+1）x+2a﹣1]≤ea，可變?yōu)閤2+（a+1）x+2a﹣1≤ea﹣x，

令r（x）=x2+（a+1）x+2a﹣1，t（x）=ea﹣x，

當a＞0時，在[a，+∞）上，由于r（x）的對稱軸為負，

故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上減，

欲使x2+（a+1）x+2a﹣1≤ea﹣x有解，

則只須r（a）≤t（a），即2a2+3a﹣1≤1，

解得﹣2≤a≤ ，故0＜a≤ ；

當a≤0時，在[a，+∞）上，由于r（x）的對稱軸為x=﹣ ，

故當﹣ ＜a≤0時，r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上減，

則r（a）≤t（a），即2a2+3a﹣1≤1，解得﹣2≤a≤ ，

故﹣ ＜a≤0成立；

當a≤﹣ 時，r（x）在[a，+∞）上先減后增，t（x）在[a，+∞）上減，

欲使x2+（a+1）x+2a﹣1≤ea﹣x有解，只須r（﹣ ）≤t（﹣ ），

即 ≤e ，

當a≤0時，顯然成立．

綜上知，﹣ ＜a≤ 即為符合條件的實數(shù)a的取值范圍

（3）解：由f（x）的導數(shù)f′（x）=ex[x2+（a+3）x+3a]=ex（x+3）（x+a），

當a≠﹣3時，函數(shù)y=f′（x）的圖象與x軸有兩個交點，

故f（x）圖象上存在兩條互相垂直的切線．

則a的取值范圍是{a|a≠﹣3，a∈R}

【解析】（1）當a=1時，f（x）=ex（x2﹣3），求出其導數(shù)，利用導數(shù)即可解出單調(diào)區(qū)間；（2）若關于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，即ex[x2+（a+1）x+2a﹣1]≤ea ， 在[a，+∞）上有解，構造兩個函數(shù)r（x）=x2+（a+1）x+2a﹣1，t（x）=ea﹣x ， 研究兩個函數(shù)的在[a，+∞）上的單調(diào)性，即可轉化出關于a的不等式，從而求得a的范圍；（3）由f（x）的導數(shù)f′（x）=ex（x+3）（x+a），當a≠﹣3時，函數(shù)y=f′（x）的圖象與x軸有兩個交點，故f（x）圖象上存在兩條互相垂直的切線．
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．