【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，且，平面 平面，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面 平面；

（Ⅱ）設(shè)二面角的平面角為，試判斷在線段上是否存在這樣的點(diǎn)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論成立；

（Ⅱ）先證明，，兩兩垂直，再以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用表示出平面的法向量，進(jìn)而表示出，由，即可得出結(jié)果.

解：（Ⅰ） 四邊形是正方形，∴.

∵平面 平面平面平面，∴平面.

∵平面，∴.

∵，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴.

又∵，∴平面.

又∵平面，∴平面 平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.

在平面內(nèi)過(guò)作交于點(diǎn)，

∴，故，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，

以，，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，，∴.

∵平面， 則，，

又為的中點(diǎn)，，

假設(shè)在線段上存在這樣的點(diǎn)，使得,設(shè)，，，

設(shè)平面的法向量為， 則

∴，令，則，則

平面，平面的一個(gè)法向量,,則

∴.

，解得，∴

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】十八屆五中全會(huì)首次提出了綠色發(fā)展理念，將綠色發(fā)展作為“十三五”乃至更長(zhǎng)時(shí)期經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的一個(gè)重要理念．某地區(qū)踐行“綠水青山就是金山銀山”的綠色發(fā)展理念，2015年初至2019年初，該地區(qū)綠化面積y（單位：平方公里）的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2015

2016

2017

2018

2019

年份代號(hào)x

1

2

3

4

5

綠化面積y

2.8

3.5

4.3

4.7

5.2

（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年初的綠化面積．

（參考公式：線性回歸方程：，，為數(shù)據(jù)平均數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1為某省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是（ ）

A. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬(wàn)件

B. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率均超過(guò)50%，在3月底最高

C. 從兩圖來(lái)看，2018年1~4月中的同一個(gè)月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長(zhǎng)率并不完全一致

D. 從1~4月來(lái)看，該省在2018年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長(zhǎng)率逐月增長(zhǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求證：若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則；

（2）寫(xiě)出（1）的逆命題，判斷真假，并證明你的判斷.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某購(gòu)物網(wǎng)站對(duì)在7座城市的線下體驗(yàn)店的廣告費(fèi)指出萬(wàn)元和銷售額萬(wàn)元的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

城市

A

B

C

D

E

F

G

廣告費(fèi)支出

1

2

4

6

11

13

19

銷售額

19

32

40

44

52

53

54

（1）若用線性回歸模型擬合y與x關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程．

（2）若用對(duì)數(shù)函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程，經(jīng)計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù)回歸模型的相關(guān)指數(shù)約為0.95，請(qǐng)說(shuō)明選擇哪個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測(cè)A城市的廣告費(fèi)用支出8萬(wàn)元時(shí)的銷售額．

參考數(shù)據(jù)：，，，，，．

參考公式：，

相關(guān)指數(shù)：（注意：與公式中的相似之處）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2016年1月6日北京時(shí)間上午11時(shí)30分，朝鮮中央電視臺(tái)宣布“成功進(jìn)行了氫彈試驗(yàn)”，再次震動(dòng)世界，此事件也引起了我國(guó)公民熱議，其中丹東市（丹東市和朝鮮隔江）某QQ聊天群有300名網(wǎng)友，烏魯木齊市某微信群有200名網(wǎng)友，為了解不同地區(qū)我國(guó)公民對(duì)“氫彈試驗(yàn)”事件的關(guān)注程度，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名網(wǎng)友，先分別統(tǒng)計(jì)了他們?cè)谀硶r(shí)段發(fā)表的信息條數(shù)，再將兩地網(wǎng)友發(fā)表的信息條數(shù)分成5組：，，，，，分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求丹東市網(wǎng)友的平均留言條數(shù)（保留整數(shù)）；

（2）為了進(jìn)一步開(kāi)展調(diào)查，從樣本中留言條數(shù)超過(guò)80條的網(wǎng)友中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名烏魯木齊市網(wǎng)友的概率；

（3）規(guī)定“留言條數(shù)”不少于70條為“強(qiáng)烈關(guān)注”.

①請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成下列2×2的列聯(lián)表：

強(qiáng)烈關(guān)注

非強(qiáng)烈關(guān)注

合計(jì)

丹東市

烏魯木齊市

合計(jì)

②判斷是否有90%的把握認(rèn)為“強(qiáng)烈關(guān)注”與網(wǎng)友所在的地區(qū)有關(guān)？

附：臨界值表及參考公式：

，.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．

(1)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；

(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知三棱錐（如圖1）的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐中：

(I)證明：平面 平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上，滿足， ，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).

(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；

(2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；

(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.

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