Question

經(jīng)過(guò)拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F作傾角為θ的直線，若該直線與拋物線交于P₁、P₂兩點(diǎn)．
（1）求|P₁P₂|；
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求|P₁P₂|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可求得拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)而可求得直線的方程，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，然后根據(jù)拋物線定義可求得|P₁P₂|=x₁+x₂+p，答案可得．
（2）根據(jù)（1）中關(guān)于|P₁P₂|的表達(dá)式化簡(jiǎn)整理后可知當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，由最小值．

解答：解：（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

p

2

，0），
當(dāng)θ=90°時(shí)，將x=

p

2

代入，可解得P₁、P₂兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為-p，p，此時(shí)有|P₁P₂|=2p；
當(dāng)θ≠90°時(shí)，則直線方程為y=tanθ（x-

p

2

），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）
代入拋物線方程得tan²θx²-（tan²θp+2p）x+

p2

4

=0
則x₁+x₂=

tan2θp+2p

tan2θ

根據(jù)拋物線定義可知|P₁P₂|=x₁+

p

2

x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=

2tan2θp+2p

tan2θ

=

2p

sin 2θ

又θ=90°時(shí)，2p=

2p

sin 2θ

∴|P₁P₂|=

2p

sin 2θ

（2）由（1）可知|P₁P₂|=

2p

sin 2θ

，
∵-1≤sinθ≤1，
∴

2p

sin 2θ

≥2p，當(dāng)θ=90°時(shí)等號(hào)成立
即|P₁P₂|的最小值為2p．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式）．