Question

（2012•溫州二模）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)，點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=2p，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  10

  2

• B．2
• C．

  5

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：確定拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=2p，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），其準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

∵準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)
∴a=

p

2

∵點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=2p，
∴M的橫坐標(biāo)為

3

2

p
代入拋物線方程，可得M的縱坐標(biāo)為±

3

p
將M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得

( 3 2 p)2

( p 2 )2

-

3p2

b2

=1，∴b2=

3

8

p2
∴c2=

p2

4

+

3

8

p2=

5

8

p2
∴c=

10

4

p
∴e=

c

a

=

10

2

故選A．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查曲線的交點(diǎn)，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．