【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,(a>0,b∈R)
(1)當x≠0時,求證:f(x)=f( );
(2)若函數(shù)y=f(x),x∈[ ,2]的值域為[5,6],求f(x);
(3)在(2)條件下,討論函數(shù)g(x)=f(2x)﹣k(k∈R)的零點個數(shù).

【答案】
(1)證明: ;


(2)解: ;

,a>0;

時,f′(x)<0,x∈(1,2]時,f′(x)>0;

∴x=1時f(x)取最小值6,即2a+b=5;

∴f( )=6,或f(2)=6;

解得a=2,b=1;


(3)解:g(x)=2(2x+2x)+1﹣k;

y=2x為增函數(shù);

∴由(2)知,2x<1,即x<0時,g(x)單調(diào)遞減,x>0時,g(x)單調(diào)遞增;

∴x=0時,g(x)取到最小值5﹣k,x趨向正無窮和負無窮時,g(x)都趨向正無窮;

∴①5﹣k<0,即k>5時,g(x)有兩個零點;

②5﹣k=0,即k=5時,g(x)有一個零點;

③5﹣k>0,即k<5時,g(x)沒有零點


【解析】(1)把f(x)中的x換上 便可求出 ,整理之后便可得出f(x)= ;(2)將f(x)變成 ,求導數(shù),判斷導數(shù)符號:x∈[ ,1)時,f′(x)<0,x∈(1,2]時,f′(x)>0,從而得出x=1時f(x)取到最小值5,并且f( )=f(2)=6,從而得到 ,這樣即可解出a=2,b=1,從而得出f(x)= ;(3)先求出g(x)=2(2x+2x)+1﹣k,根據(jù)(2)便可判斷g(x)的單調(diào)性,從而得出g(x)最小值為5﹣k,這樣討論5﹣k和0的關(guān)系即可得出g(x)零點的情況.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的.

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