【題目】如圖,已知正方形和矩形所在平面互相垂直, , .
(1)求二面角的大小;
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)60°.(2).
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)各點坐標(biāo),根據(jù)方程組求各面法向量,再根據(jù)向量數(shù)量積求夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果(2)根據(jù)向量投影得點到平面的距離為再根據(jù)向量數(shù)量積求值
試題解析: 正方形和矩形所在平面互相垂直,
分別以AB,AD,AF為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(,0,0), C(, ,0), D(0, ,0),
E(, ,1),F(xiàn)(0,0,1).
(1)設(shè)平面CDE的法向量為平面BDE的法向量,
由 解得.
∴ ,
∴ 二面角 B—DE—C等于60°.
(2)
,
.設(shè)點到平面BDF的距離為h,則
∴.所以點F到平面BDE的距離為.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別是, ,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的左頂點為,過點的直線與橢圓相交于異于的不同兩點, ,求的面積的最大值.
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【題目】某群體的人均通勤時間,是指單日內(nèi)該群體成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)中的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間是(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時間不受影響,恒為40鐘,根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:
(1)請你說明,當(dāng)在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?
(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說明其實際意義.
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【題目】已知圓,某拋物線的頂點為原點,焦點為圓心,經(jīng)過點的直線交圓于, 兩點,交此拋物線于, 兩點,其中, 在第一象限, , 在第二象限.
(1)求該拋物線的方程;
(2)是否存在直線,使是與的等差中項?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知,曲線上任意一點滿足;曲線上的點在軸的右邊且到的距離與它到軸的距離的差為1.
(1)求的方程;
(2)過的直線與相交于點,直線分別與相交于點和.求的取值范圍.
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【題目】近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個城市至少要投資40萬元,由前期市場調(diào)研可知:甲城市收益P與投入(單位:萬元)滿足,乙城市收益Q與投入(單位:萬元)滿足,設(shè)甲城市的投入為(單位:萬元),兩個城市的總收益為(單位:萬元).
(1)當(dāng)甲城市投資50萬元時,求此時公司總收益;
(2)試問如何安排甲、乙兩個城市的投資,才能使總收益最大?
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【題目】己知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線與軸的交點為,過點的直線,拋物線相交于不同的兩點.
(1)若,求直線的方程;
(2)若點在以為直徑的圓外部,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,(a>0,b∈R)
(1)當(dāng)x≠0時,求證:f(x)=f( );
(2)若函數(shù)y=f(x),x∈[ ,2]的值域為[5,6],求f(x);
(3)在(2)條件下,討論函數(shù)g(x)=f(2x)﹣k(k∈R)的零點個數(shù).
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