【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，求證：過點有三條直線與曲線相切；

（Ⅱ）當(dāng)時， ，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】

解法一：（Ⅰ）當(dāng)時， ，

設(shè)直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為： ，

因為切線過點，所以，

即 ，

∵，∴，

設(shè)，

∵， ， ，

∴在三個區(qū)間上至少各有一個根

又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）∵當(dāng)時， ，即當(dāng)時，

∴當(dāng)時， ，

設(shè)，則，

設(shè)，則．

（1）當(dāng)時，∵，∴，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）

∴在上單調(diào)遞增，

又∵，∴當(dāng)時， ，從而當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞減，又∵，

從而當(dāng)時， ，即

于是當(dāng)時， ．

（2）當(dāng)時，令，得，∴，

故當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞減，

又∵，∴當(dāng)時， ，

從而當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞增，又∵，

從而當(dāng)時， ，即

于是當(dāng)時， ，

綜合得的取值范圍為．

解法二：（Ⅰ）當(dāng)時， ，

，

設(shè)直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為，

因為切線過點，所以，

即 ，

∵，∴

設(shè)，則，令得

當(dāng)變化時， ， 變化情況如下表：

+

0

-

0

+

↗

極大值

↘

極小值

↗

∴恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）同解法一．

練習(xí)冊系列答案
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（1）若bn=2，求數(shù)列{an}通項公式；
（2）若bn= ，a2=0．
①證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
②設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= ，問是否存在正整數(shù)l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比數(shù)列，若存在，求出l、m的值；若不存在，請說明理由．

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（Ⅱ）若，證明： .

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A.
B.
C.
D.

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A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
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