Question

【題目】已知函數(shù) 與 （其中 ）在 上的單調(diào)性正好相反，回答下列問題：
（1）對于 ， ，不等式 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍；
（2）令 ，兩正實數(shù) 、 滿足 ，求證： .

Answer 1

【答案】
（1）因為 ，所以 ，

①當(dāng) 時， ， 在 上為減函數(shù)；

②當(dāng)a>-1時， ，

令 ，得 ，此時 在 上為增函數(shù)；

令 ，得 ，此時 在 上為減函數(shù)；

又因為 ，則 ，

①當(dāng) 時， ， 在 上為增函數(shù)；

②當(dāng)a>0時， ，

令 ，得 ，此時 在 上為增函數(shù)；

令 ，得 ，此時 在 上為增函數(shù)；

于是若要 與 在 上的單調(diào)性正好相反，

則必須 ，解得 ，

∴ ，

所以，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增.

∴在區(qū)間 上：

對于函數(shù) 有

又 ，

∴ .

對于函數(shù) 有

又 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

綜上，所求t的范圍為

（2）易得 ，

由 ，得 ，

∴

∴

∴

令，設(shè) ，則 ，

可知 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，

∴ ，

∴

【解析】本題主要考查不等式恒成立問題的求解，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，意在考查邏輯思維能力和分析問題、解決問題的綜合能力．
【考點精析】認真審題，首先需要了解基本不等式(基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）；變形公式：)．