Question

已知各項均為正數的兩個數列{a_n}和{b_n}滿足：an+1=

anbn an2+bn2

，n∈N^*．
（1）求證：當n≥2時，有an≤

2

2

成立；
（2）設bn+1=

bn an

，n∈N*，求證：數列{(

bn

an

)2}是等差數列；
（3）設b_n+1=a_nb_n，n∈N*，試問{a_n}可能為等比數列嗎？若可能，請求出公比的值，若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式，結合條件，可得當n≥2時，有an≤

2

2

成立；
（2）利用等差數列的定義，即可證得結論；
（3）利用反證法證明，對q分類討論，引出矛盾，從而可得結論．

解答：（1）證明：因為{a_n}和{b_n}各項均為正數，所以anbn≤

an2+bn2

2

，
所以an+1=

anbn an2+bn2

≤

2

2

．
（2）證明：因為an+1=

anbn an2+bn2

，所以

1

an+12

=

an2+bn2

anbn

；
又bn+1=

bn an

，所以bn+12=

bn

an

．
兩式相乘可得

bn+12

an+12

=

an2+bn2

anbn

•

bn

an

=1+

bn2

an2

，
所以數列{(

bn

an

)2}是等差數列；
（3）不可能為等比數列．證明：
反證法：若{a_n}為等比數列，設其公比為q，由{a_n}為正項數列，易得q＞0．
接下來我們按下面的情況分類討論：
①若q＞1，則當n＞1+logq

2

2a1

時，有an=a1qn-1＞

2

2

，矛盾．
②若q=1，不妨設a_n≡a，（其中a為正常數），所以b_n+1=ab_n，所以{b_n}為等比數列．
因為an+1=

anbn an2+bn2

，所以有a=

abn a2+bn2

，化簡得abn2-bn+a3=0
對于n∈N^*成立，因此數列{b_n}的各項只能取一個或兩個不同的值，
又因為{b_n}為等比數列，所以只能有a=1，
而此時方程abn2-bn+a3=0變?yōu)?span id="nww9tn6" class="MathJye">bn2-bn+1=0無實根，所以q≠1．
③若0＜q＜1，則由an+1=

anbn an2+bn2

可得an+2=

an+1bn+1 an+12+bn+12

=

an+1anbn an+12+an2bn2

=

qbn q2+bn2

聯立

an+1= anbn an2+bn2 an+2= qbn q2+bn2

可得q=

qbn q2+bn2

•

an2+bn2 anbn

，所以qan(q2+bn2)=an2+bn2．
因為0＜q＜1，所以當n＞1+logq

1

2a1

時，有an=a1qn-1＜

1

2

，所以當n＞1+logq

1

2a1

時，有bn+1=anbn＜

1

2

bn，所以當n＞1+logq

1

2a1

時，數列{b_n}為減數列．
設N=[1+logq

1

2a1

]+1，M=max{b₁，b₂，…b_N-1，b_N}，易得b_n≤M對于n∈N^*成立，所以b_n+1=a_nb_n≤Ma_n．
所以當n≥2時，有q(q2+bn2)=an+

bn2

an

≤an+

M2an-12

an

=(q+

M2

q

)an-1．
則當n＞6+logq

1

a1(q2+M2)

時，有q3＜q(q2+bn2)≤(q+

M2

q

)an-1＜q3，矛盾．
綜上所述，{a_n}不可能為等比數列．

點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的證明，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．