(2012•江蘇)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足:an+1=
an+bn
an2+bn2
,n∈N*
(1)設bn+1=1+
bn
an
,n∈N*,,求證:數(shù)列{(
bn
an
) 2}
是等差數(shù)列;
(2)設bn+1=
2
bn
an
,n∈N*,且{an}是等比數(shù)列,求a1和b1的值.
分析:(1)由題意可得,an+1=
an+bn
an2+bn2
=
1+
bn
an
1+(
bn
an
)
2
=
bn+1
1+(
bn
an
)
2
,從而可得
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)
2
,可證
(2)由基本不等式可得,
(an+bn)2
2
≤ an2+bn2< (an+bn)2
,由{an}是等比數(shù)列利用反證法可證明q=
2
a1
=1,進而可求a1,b1
解答:解:(1)由題意可知,an+1=
an+bn
an2+bn2
=
1+
bn
an
1+(
bn
an
)
2
=
bn+1
1+(
bn
an
)
2

bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)
2

從而數(shù)列{(
bn
an
)
2
}是以1為公差的等差數(shù)列
(2)∵an>0,bn>0
(an+bn)2
2
≤ an2+bn2< (an+bn)2

從而1<an+1=
an+bn
an2+bn2
2
(*)
設等比數(shù)列{an}的公比為q,由an>0可知q>0
下證q=1
若q>1,則a1
a2
q
a2≤ 
2
,故當n>logq
2
a1
時,an+1=a1qn
2
與(*)矛盾
0<q<1,則a1=
a2
q
a2>1
,故當n> logq
1
a1
時,an+1=a1qn<1與(*)矛盾
綜上可得q=1,an=a1,
所以,1<a1
2

bn+1=
2
bn
an
=
2
a1
bn

∴數(shù)列{bn}是公比
2
a1
的等比數(shù)列
a1
2
,則
2
a1
>1
,于是b1<b2<b3
又由a1=
a1+bn
a12+bn2
可得bn=
a1±a12
2-a12
a12-1

∴b1,b2,b3至少有兩項相同,矛盾
a1=
2
,從而bn=
a1±a12
2-a12
a12-1
=
2

a1=b1=
2
點評:本題主要考查了利用構(gòu)造法證明等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式的應用,解題的關鍵是反證法的應用.
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