已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又有點(diǎn)A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:首先判斷A的位置,在拋物線內(nèi)部,利用拋物線的定義,轉(zhuǎn)化為A到準(zhǔn)線的距離就是|PA|+|PF|的最小值,然后求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:將x=3代入拋物線方程y2=2x,得y=±
6
,∵
6
>2
,∴A在拋物線內(nèi)部.
設(shè)拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線l:x=-
1
2
的距離為d,
由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d,由圖可知,當(dāng)PA⊥l時(shí),|PA|+d最小,最小值為
7
2
,此時(shí)P點(diǎn)的
縱坐標(biāo)為2,
代入y2=2x,得x=2.所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2).
點(diǎn)評(píng):本題是基礎(chǔ)題,考查拋物線的定義和性質(zhì)得應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2x,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
2
3
,0),則拋物線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。
A、(0,0)
B、(0,1)
C、(1,0)
D、(-2,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知拋物線y2=2x.
(1)在拋物線上任取二點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),經(jīng)過線段P1P2的中點(diǎn)作直線平行于拋物線的軸,和拋物線交于點(diǎn)P3,證明△P1P2P3的面積為
116
|y1-y2|3
;
(2)經(jīng)過線段P1P3、P2P3的中點(diǎn)分別作直線平行于拋物線的軸,與拋物線依次交于Q1、Q2,試將△P1P3Q1與△P2P3Q2的面積和用y1,y2表示出來;
(3)仿照(2)又可做出四個(gè)更小的三角形,如此繼續(xù)下去可以做一系列的三角形,由此設(shè)法求出線段P1P2與拋物線所圍成的圖形的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2x,設(shè)A,B是拋物線上不重合的兩點(diǎn),且
OA
OB
,
OM
=
OA
+
OB
,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若|
OA
|=|
OB
|
,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2x,過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),自A、B向準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為A1、A2,A1F=3,A2F=2,則A1A2=
13
13
..

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2x,
(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
23
,0)
,求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|;
(2)在拋物線上求一點(diǎn)P,使P到直線x-y+3=0的距離最短,并求出距離的最小值.

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