已知拋物線y2=2x，
（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
23
，0)，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；
（2）在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到直線x-y+3=0的距離最短，并求出距離的最小值．
分析：（1）設(shè)拋物線上y2=2x上的點(diǎn)P（m，n），利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得|PA|2=(m+
1
3
)2+
1
3
，
（2）設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得點(diǎn)P到直線x-y+3=0的距離d的關(guān)系式，并求得dmin．
解答：解：（1）設(shè)拋物線上y2=2x上的點(diǎn)P（m，n）（m≥0），
則|PA|2=(m-
2
3
)2+n2=m2-
4
3
m+
4
9
+2m=m2+
2
3
m+
4
9
=(m+
1
3
)2+
1
3
，
∵m≥0，
∴當(dāng)m=0時(shí)，|PA|2達(dá)到最小值
4
9
，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，0）時(shí)，|PA|min=
2
3
；
（2）設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點(diǎn)，那么y2=2x，
則點(diǎn)P到直線的距離d=
|x-y+3|
2
=
|
y2
2
-y+3|
2
=
|(y-1)2+5|
2
2
=
2
4
[（y-1）2+5]≥
5
2
4
，當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)，取“=”．
此時(shí)點(diǎn)P（
1
2
，1）．
即拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（
1
2
，1）時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y+3=0的距離最短，最小值為
5
2
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，左支考查點(diǎn)到直線間的距離公式與兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2x，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（
2
3
，0），則拋物線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�
A、（0，0）
B、（0，1）
C、（1，0）
D、（-2，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線y2=2x．
（1）在拋物線上任取二點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），經(jīng)過線段P1P2的中點(diǎn)作直線平行于拋物線的軸，和拋物線交于點(diǎn)P3，證明△P1P2P3的面積為
116
|y1-y2|3；
（2）經(jīng)過線段P1P3、P2P3的中點(diǎn)分別作直線平行于拋物線的軸，與拋物線依次交于Q1、Q2，試將△P1P3Q1與△P2P3Q2的面積和用y1，y2表示出來；
（3）仿照（2）又可做出四個(gè)更小的三角形，如此繼續(xù)下去可以做一系列的三角形，由此設(shè)法求出線段P1P2與拋物線所圍成的圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2x，設(shè)A，B是拋物線上不重合的兩點(diǎn)，且
OA
⊥
OB
，
OM
=
OA
+
OB
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若|
OA
|=|
OB
|，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2x，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，自A、B向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為A1、A2，A1F=3，A2F=2，則A1A2=
13
13
．．

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