Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，F是A₁C₁的中點，連接FB₁，AB₁，FA
（1）求證：平面FAB₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求證：直線BC₁∥平面AB₁F．

Answer 1

分析：（1）利用正三棱柱的性質可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，因此AA₁⊥B₁F．利用正三角形的性質及F是邊A₁C₁的中點，可得B₁F⊥A₁C₁．利用線面垂直的判定定理可得B₁F⊥平面ACC₁A₁，再利用面面垂直的判定可得平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）連接A₁B交AB₁于G點，連接FG，根據四邊形ABB₁A₁為平行四邊形得到A₁G=BG，又因A₁F=C₁F則FG∥BC₁，又FG?平面AFB₁，BC₁?平面AFB₁根據線面平行的判定定理可知BC₁∥平面AFB₁．

解答：解：（1）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥B₁F．
由F是正△A₁B₁C₁的A₁C₁的中點，∴B₁F⊥A₁C₁．
又A₁A∩A₁C₁=A₁，∴B₁F⊥平面ACC₁A₁，
∴平面FAB₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）證明：連接A₁B交AB₁于G點，連接FG
∵四邊形ABB₁A₁為平行四邊形∴A₁G=BG
又∵A₁F=C₁F∴FG∥BC₁
又∵FG?平面AFB₁
BC₁?平面AB₁F
∴BC₁∥平面AB₁F

點評：本題綜合考查了正三棱柱的性質、線面垂直與平行的判定與性質、面面垂直的判定定理、三角形的中位線定理、矩形的性質等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力．