【題目】如圖,有一塊半圓形空地,開發(fā)商計(jì)劃建一個(gè)矩形游泳池ABCD及其矩形附屬設(shè)施EFGH,并將剩余空地進(jìn)行綠化,園林局要求綠化面積應(yīng)最大化.其中半圓的圓心為O,半徑為R,矩形的一邊AB在直徑上,點(diǎn)C、D、G、H在圓周上,E、F在邊CD上,且,設(shè)
(1)記游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為,求的表達(dá)式;
(2)當(dāng)為何值時(shí),能符合園林局的要求?
【答案】(1);(2)當(dāng)滿足時(shí),符合園林局要求.
【解析】試題分析:(1)由圓的性質(zhì)可得, , ,由 為等邊三角形,
可得, , ,所以 ,結(jié)合三角形面積公式可得結(jié)果 ;(2)由可得極值點(diǎn)滿足, ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)是單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), 是單調(diào)增函數(shù),所以當(dāng)時(shí), 取得最小值.
試題解析:(1)由題意, , ,且 為等邊三角形,
所以, , ,
, .
(2)要符合園林局的要求,只要最小,
由(1)知,
令,即,解得或(舍去),
令 .
當(dāng)時(shí), 是單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), 是單調(diào)增函數(shù),所以當(dāng)時(shí), 取得最小值.
答:當(dāng)滿足時(shí),符合園林局要求.
思路點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用,屬于難題. 與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向,這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識,解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題,只有吃透題意,才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.理解本題題意的關(guān)鍵是:將游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為關(guān)于 的函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)解答.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了準(zhǔn)確地把握市場,做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃,對過去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第年與年銷量(單位:萬件)之間的關(guān)系如下表:
(1)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型擬合與的關(guān)系(不必說明理由);
(3)建立關(guān)于的回歸方程,預(yù)測第5年的銷售量.
附注:參考公式:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中=2.71828…為自然數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),求證:對任意的, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【題目】【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn),對,恒有成立,設(shè)數(shù)列滿足.
(I)求證:對,恒有成立;
(II)求函數(shù)的表達(dá)式;
(III)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像相切,求的值;
(2)若, ,函數(shù)滿足對任意,都有恒成立,求的取值范圍;
(3)若,函數(shù),且有兩個(gè)極值點(diǎn),其中,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)既有一個(gè)極小值又有一個(gè)極大值,求的取值范圍;
(3)若存在,使得當(dāng)時(shí), 的值域是,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為
(1)若= ,求證:曲線上的任意一點(diǎn)處的切線與直線和直線圍成的三角形面積為定值;
(2)若,是否存在實(shí)數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意都成立;
(3)在(2)的條件下,若方程有三個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺 和棱錐拼接而成的組合體,其底面四邊形是邊長為 的菱形,且 , 平面 , .
(1)求證:平面 平面 ;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
()若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
()若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
()過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,證明:切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
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