【題目】已知函數(shù),其中=2.71828…為自然數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)任意的 .

【答案】(1)f(x)在R上單調(diào)遞減.(2)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可;(2)對(duì)任意的x[0,+∞),轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的x[0,+∞),,即可,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究即可.

試題解析:(1)當(dāng)a=0時(shí),fx=exsinxe),

fx=exsinxe+excosx=exsinxe+cosx),

sinx+cosx= 、

sinx+cosxe0

fx0

fx)在R上單調(diào)遞減.

2)當(dāng)x≥0時(shí),y=ex≥1

要證明對(duì)任意的x[0,+∞),fx0.

則只需要證明對(duì)任意的x[0,+∞),

設(shè)ga=sinxax2+2ae=(﹣x2+2a+sinxe,

看作以a為變量的一次函數(shù),

要使sinxax2+2ae0,

,即

sinx+1e0恒成立,∴①恒成立,

對(duì)于②,令hx=sinxx2+2e,

hx=cosx2x,

設(shè)x=t時(shí),hx=0,即cost2t=0.

t=,sint

hx)在(0,t)上,hx0hx)單調(diào)遞增,在(t,+∞)上,hx0,hx)單調(diào)遞減,

則當(dāng)x=t時(shí),函數(shù)hx取得最大值ht=sintt2+2e=sint﹣(2+2e

=sint+2e=sin2t+sint+e=+12+e≤2+e=e0,

故④式成立,

綜上對(duì)任意的x[0+∞),fx0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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