【題目】已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.（注： 為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：當時， 恒成立.

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，結合兩直線垂直的條件，可得的方程，解出即可；（2）求出單調區(qū)間可得極值點1，令，可得取值范圍；（3）當時， ，令，運用二次求導可得函數(shù)，得結論.

試題解析：（1）因為，所以，

又據題意，得，所以，所以.

（2），

當時， ， 為增函數(shù)，

當時， ， 為減函數(shù).

所以函數(shù)僅當時，取得極值.

又函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以，所以.

故實數(shù)的取值范圍是.

（3）當時， ，令，則

，

再令，則，

又因為，所以.

所以在上是增函數(shù)，

又因為，

所以當時， .

所以在區(qū)間上是增函數(shù).

所以當時， ，又，∴恒成立，即原不等式成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線在點 處的切線平行直線，且點在第三象限.

（1）求的坐標；

（2）若直線, 且也過切點 ,求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， 底面．

（1）證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=（n∈N+），

（1）計算a2、a3、a4并由此猜想通項公式an；

（2）證明（1）中的猜想．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)在處取得極值，且在點處的切線與直線平行．

(1）求的解析式；

(2）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間及極值。

(3）求函數(shù)在的最值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了了解青少年的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關，現(xiàn)對30名青少年進行調查，得到如下列聯(lián)表：

常喝

不常喝

總計

肥胖

2

不肥胖

18

總計

30

已知從這30名青少年中隨機抽取1名，抽到肥胖青少年的概率為．

（1）請將列聯(lián)表補充完整；（2）是否有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關？

獨立性檢驗臨界值表：

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中n=a+b+c+d．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學數(shù)學老師分別用兩種不同教學方式對入學數(shù)學平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班（人數(shù)均為20人）進行教學（兩班的學生學習數(shù)學勤奮程度和自覺性一致），數(shù)學期終考試成績莖葉圖如下：

（1）學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”．

附：參考公式及數(shù)據

（2）從兩個班數(shù)學成績不低于90分的同學中隨機抽取3名，設為抽取成績不低于95分同學人數(shù)，求的分布列和期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校隨機調查了80位學生，以研究學生中愛好羽毛球運動與性別的關系，得到下面的列聯(lián)表：

愛好

不愛好

合計

男

20

30

50

女

10

20

30

合計

30

50

80

（Ⅰ）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查了本校的3名學生，設這3人中愛好羽毛球運動的人數(shù)為，求 的分布列，數(shù)學期望及方差；

（Ⅱ）根據表中數(shù)據，能否有充分證據判斷愛好羽毛球運動與性別有關？若有，有多大把握？

0.500

0.100

0.050

0.010

0.455

2.706

3.841

6.635

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項和， 是等差數(shù)列，且.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項和.

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