已知,函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)(設(shè)為)時(shí),求證:.

 

【答案】

1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析:1)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào),實(shí)質(zhì)上就是確定分子的正負(fù),從而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性,即對(duì)分子的的符號(hào)進(jìn)行分類討論,從而確定的符號(hào)情況,進(jìn)而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;(2)根據(jù)、之間的關(guān)系,結(jié)合韋達(dá)定理得出以及的表達(dá)式,代入所證的不等式中,利用分析法將所要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式,利用作差法,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)圍繞來證明.

試題解析:1

,考慮分子

當(dāng),即時(shí),在上,恒成立,此時(shí)上單調(diào)遞增;

當(dāng),即時(shí),方程有兩個(gè)解不相等的實(shí)數(shù)根:,,顯然

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

函數(shù)上單調(diào)遞減,

上單調(diào)遞增.

2、的兩個(gè)極值點(diǎn),故滿足方程

、的兩個(gè)解,,

而在中,

因此,要證明,

等價(jià)于證明,

注意到,只需證明,即證,

,則,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,函數(shù)上單調(diào)遞減;

因此,從而,即,原不等式得證.

考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.分類討論;3.分析法;4.構(gòu)造新函數(shù)證明函數(shù)不等式

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知符號(hào)函數(shù)sgn x=
1 ,當(dāng)x>0時(shí)
0 ,當(dāng)x=0時(shí)
-1 ,當(dāng)x<0時(shí)
則方程x+1=(2x-1)sgnx的所有解之和是( 。
A、0
B、2
C、-
1+
17
4
D、
7-
17
4

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已知函數(shù)f(ax)=x,g(x)=2loga(2x+t-2),其中a>0且a≠1,t∈R.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式,并指出其定義域;
(2)若t=4,x∈[1,2],且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)已知0<a<1,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),有f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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(2)若t=4,x∈[1,2],且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2,求實(shí)數(shù)a的值;
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已知函數(shù)f(ax)=x,g(x)=2loga(2x+t-2),其中a>0且a≠1,t∈R.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式,并指出其定義域;
(2)若t=4,x∈[1,2],且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)已知0<a<1,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),有f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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已知符號(hào)函數(shù)sgn x=
1 ,當(dāng)x>0時(shí)
0 ,當(dāng)x=0時(shí)
-1 ,當(dāng)x<0時(shí)
則方程x+1=(2x-1)sgnx的所有解之和是( 。
A.0B.2C.-
1+
17
4
D.
7-
17
4

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