Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，且對任意正整數(shù)，a_n+S_n=4096，（注：1024=2¹⁰，2048=2¹¹，4096=2¹²）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{log₂a_n}的前項和為T_n，對數(shù)列{T_n}，從第幾項起T_n≤-165？

Answer 1

分析：（1）由a_n+S_n=4096，知a₁+S₁=4096，a₁=2048．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由log₂a_n=log₂[2048（

1

2

）^n-1]=12-n，知T_n=

1

2

（-n²+23n）．由此能求出從第幾項起T_n≤-165．

解答：解：（1）∵a_n+S_n=4096，
∴a₁+S₁=4096，
a₁=2048．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n
∴

an

an-1

=

1

2

，
∴a_n=2048（

1

2

）^n-1．
（2）∵log₂a_n=log₂[2048（

1

2

）^n-1]=12-n，
∴T_n=

1

2

（-n²+23n）．
由T_n≤-165，
解得n≥33，
故從第33項起，T_n≤-165．

點評：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，是中檔題．解題時要認真審題，注意數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用．