Question

【題目】若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù)．

（）判斷下列函數(shù)：①；②；③中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）

（）判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

（）證明： ， ，函數(shù)都是等比源函數(shù)．

Answer 1

【答案】（）①②③均為等比源函數(shù)．（）函數(shù)不是等比源函數(shù)（）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）直接舉例說(shuō)明題目給出的三個(gè)函數(shù)都是“等比源函數(shù)”；（2）利用反證法思想，假設(shè)存在正整數(shù)， ， ，且，是， ， 成等比數(shù)列，推出矛盾，從而證明函數(shù)f（x）=2x+1不是等比源函數(shù)；（3）首先證明數(shù)列{g（n）}為等差數(shù)列，然后驗(yàn)證g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]構(gòu)成等比數(shù)列，從而說(shuō)明結(jié)論的正確性．

試題解析：

（）①當(dāng)取， ， 時(shí)， 得， ， 構(gòu)成等比數(shù)列，∴是等比源函數(shù)．

②當(dāng)取， ， 時(shí)， 得， ， 構(gòu)成等比數(shù)列，∴是等比源函數(shù)．

③當(dāng)取， ， 時(shí)， 得， ， 構(gòu)成等比數(shù)列，∴是等比源函數(shù)．

綜上①②③均為等比源函數(shù)．

（）函數(shù)不是等比源函數(shù)，

證明如下：

假設(shè)存在正整數(shù)， ， ，且，是， ， 成等比數(shù)列，∴，

，∴，等式兩邊同除以，

∴，又∵， ，

∴等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，∴不可能成立，

故假設(shè)不成立，

∴不是等比源函數(shù)．

（）證明：∵， ，都有，

∴， ，數(shù)列都是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，

， ， ， ， 成等比數(shù)列，

∴，

，

，

∴， ， ，

∴， ，函數(shù)都是等比源函數(shù)．