Question

【題目】已知非零數(shù)列的遞推公式為,.

(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)若關(guān)于的不等式有解,求整數(shù)的最小值；

(3)在數(shù)列中,是否一定存在首項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng),使得這三項(xiàng)依次成等差數(shù)列？若存在,請指出所滿足的條件；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)整數(shù)的最小值為4.(3)存在,當(dāng)且僅當(dāng),且為不小于4的偶數(shù)時(shí),成等差數(shù)列

【解析】

(1)根據(jù)要證明是等比數(shù)列的數(shù)列,對已知的等式進(jìn)行恒等變形,即可證明本結(jié)論；

(2)利用差比判斷數(shù)列的單調(diào)性,利用單調(diào)性求出整數(shù)的最小值；

(3)根據(jù)(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,結(jié)合已知,可以證明出存在首項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng),使得這三項(xiàng)依次成等差數(shù)列.

(1)由，得，

即，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．

(2)由(1)可得：，所以已知的不等式等價(jià)于

令，

則，

所以單調(diào)遞增，則

，

于是，即，故整數(shù)的最小值為4.

(3)由上面得，則

要使成等差數(shù)列，只需，

即

因?yàn)?/span>，則上式左端；又因?yàn)樯鲜接叶?/span>

于是當(dāng)且僅當(dāng)，且為不小于4的偶數(shù)時(shí)，成等差數(shù)列．