如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
【解析】(Ⅰ)因為
又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)設(shè)AC和BD相交于點O,連接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形,,所以均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱錐的體積為.
【點評】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆廣東省高考猜押題卷文科數(shù)學(xué)(一)解析版 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖6,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,EF⊥PB交PB于點F.
(Ⅰ) 若PD=DC=2求三棱錐A-BDE的體積;
(Ⅱ) 證明PA∥平面EDB;
(Ⅲ) 證明PB⊥平面EFD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省高考猜押題卷文科數(shù)學(xué)(一)解析版 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖6,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,EF⊥PB交PB于點F.
(Ⅰ) 若PD=DC=2求三棱錐A-BDE的體積;
(Ⅱ) 證明PA∥平面EDB;
(Ⅲ) 證明PB⊥平面EFD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖北省武漢市高三第5次月考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題滿分13分)
如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形,∠BCD=60°,點E是BC邊的中點,AC與DE交于點O,PO⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:PD⊥BC;
(Ⅱ)若AB=6,PC=6,求二面角P-AD-C的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求異面直線PB與DE所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖1,在四棱錐P-ABCD中,底面為正方形,PC與底面ABCD垂直,圖2為該四棱錐的主視圖和左視圖,它們是腰長為6 cm的全等的等腰直角三角形.
(1)根據(jù)圖2所給的主視圖、左視圖,畫出相應(yīng)的俯視圖,并求出該俯視圖的面積;
(2)求側(cè)棱PA的長.
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